${\text{f(x)=(1+b}}^2{\text{)x}}^2\text{+2bx+1}$ and $\mathrm{m}\left(\mathrm{b}\right)$ is the minimum value of $\text{f (x).}$ As $\mathrm{b}$ varies the range of $\mathrm{m}\left(\mathrm{b}\right)$ is

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(1+{\mathrm{b}}^2\right){\mathrm{x}}^2+2\mathrm{bx}+1 \\ \mathrm{f} \text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\left(1+{\mathrm{b}}^2\right)2\mathrm{x}+2\mathrm{b} \end{gathered}$$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ is minimum or maximum

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{f}}^{\mathrm{I}}\left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)2\mathrm{x}+2\mathrm{b}=0 \\ \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{{\mathrm{b}}^2+1} \end{gathered}$$

$\mathrm{m}\left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{Min}. \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} =\left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\left(\frac{{\mathrm{b}}^2}{{\left({\mathrm{b}}^2+1\right)}^2}\right)+2\mathrm{b}\left(-\frac{\mathrm{b}}{{\mathrm{b}}^2+1}\right)+1 \\ =\frac{{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{b}}^2+1}-\frac{2{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{b}}^2+1}+1 \\ =\frac{1}{{\mathrm{b}}^2+1} \\ \mathrm{m}\left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{y} \\ \frac{1}{{\mathrm{b}}^2+1}=\mathrm{y}\Rightarrow {\mathrm{b}}^2+1=\frac{1}{y} \\ {\mathrm{b}}^2=\frac{1}{y-1}=\frac{1-\mathrm{y}}{\mathrm{y}}\ge 0 \\ \frac{\mathrm{y}-1}{y}\le 0\Rightarrow \mathrm{y}\left(\mathrm{y}-1\right)\le 0,\mathrm{y}\ne 0 \end{gathered}$$

$\mathrm{y}\in \left[0,1\right]$

Range of $\mathrm{m}\left(\mathrm{b}\right) \mathrm{in} \left[0,1\right]$