f(x)=$\left\{\begin{array}{l}a+\frac{\sin \left[x\right]}{x}, x>0\\ 2 , x=0\\ b+\left[\frac{\sin x-x}{x^3}\right], x<0\end{array}\right.$where [.] denotes the greatest integer function. If f(x) is continuous at x= 0 then b=

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{a}+\frac{\sin \left[\mathrm{x}\right]}{\mathrm{x}} ;& \mathrm{x}>0\\ 2 ;& \mathrm{x}=0\\ \mathrm{b}+\left[\frac{\sin \mathrm{x}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}\right] ;& \mathrm{x}<0\end{array}\right. \\ \mathrm{RHL}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{a}+\frac{\sin \left[\mathrm{x}\right]}{\mathrm{x}}=\mathrm{a}+0 \\ \mathrm{LHL}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{b}+\left[\frac{\sin \mathrm{x}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}\right] \\ \sin \mathrm{x}=\mathrm{x}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}+\frac{{\mathrm{x}}^5}{5!}---- \\ =\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{b}+\left[\frac{-1}{3!}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{5!}---\right] \\ =\mathrm{b}-1 \\ \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{continuous} \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right) \\ \Rightarrow \mathrm{b}-1=\mathrm{a}=2 \\ \therefore \mathrm{b}=\mathrm{a}+1 \end{gathered}$$