$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{atan}}^{-1} \left(\frac{1}{\mathrm{x}-4}\right) \mathrm{if}\mathrm{ }0\le \mathrm{x}<4\\ {\mathrm{btan}}^{-1} \frac{2}{\mathrm{x}-4}\mathrm{if}\mathrm{ }4<\mathrm{x}<6\\ {\sin }^{-1} \left(7-\mathrm{x}\right)+a\frac{\mathrm{\pi }}{4}\mathrm{ }\mathrm{if}\mathrm{ }6\le \mathrm{x}\le 8\end{array}\right.$

and $\text{⨍ }\left(4\right)\text{=}\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$  is continuous on $\left[0, 8\right]$ then $\left(\mathrm{a}, \mathrm{b}\right)=$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{atan}}^{-1} \left(\frac{1}{\mathrm{x}-4}\right) \mathrm{if}\mathrm{ }0\le \mathrm{x}<4\\ {\mathrm{btan}}^{-1} \frac{2}{\mathrm{x}-4}\mathrm{if}\mathrm{ }4<\mathrm{x}<6\\ {\sin }^{-1} \left(7-\mathrm{x}\right)+a\frac{\mathrm{\pi }}{4}\mathrm{ }\mathrm{if}\mathrm{ }6\le \mathrm{x}\le 8\end{array}\right.$

$\mathrm{f}\left(4\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ is continuous on $[0,8]$

$\underset{\mathrm{x}\to 4^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(4\right)\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 4^{-}}{\lim }{\mathrm{atan}}^{-1} \frac{1}{\mathrm{x}-4}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

$\Rightarrow \mathrm{ }-\frac{\mathrm{a\pi }}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow \mathrm{a}=-1$

$\underset{\mathrm{x}\to 6^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 6^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 6^{-}}{\lim }{\mathrm{btan}}^{-1}\frac{2}{\mathrm{x}-4}=\underset{\mathrm{x}\to 6^{+}}{\lim }{\sin }^{-1} \left(7-\mathrm{x}\right)+\mathrm{a}\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

${\mathrm{btan}}^{-1}1={\sin }^{-1}1 -\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

$\mathrm{b}\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\Rightarrow \mathrm{b}=1$

$\therefore \left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=(-1,\mathrm{ }1)$