$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}(\mathrm{a}\ne 0)$is one–one function if

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d} (\mathrm{a}\ne 0)$
Clearly Range is R (cubic expression). 
Also ${\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)>0\text{ or }<0$for
all $\mathrm{x}\text{, if }\mathrm{D}<0\Rightarrow 4{\mathrm{b}}^2-4\times 3\mathrm{ac}<0\Rightarrow {\mathrm{b}}^2-3\mathrm{ac}<0$