$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\ln \left({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{\ln \left({\mathrm{x}}^4+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\right)},$ Then $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ is equal to

$\begin{array}{l}\mathrm{L}= \underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim } \frac{\ln \left({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{\ln \left({\mathrm{x}}^4+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\right)}=\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim } \frac{\ln {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(1+\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)}{\ln {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\left(1+\frac{{\mathrm{x}}^4}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}\right)}\\ = \underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim } \frac{\mathrm{x}+\ln \left(1+\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)}{2\mathrm{x}+\ln \left(1+\frac{{\mathrm{x}}^4}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}\right)}\\ = \underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim } \frac{1+\frac{1}{\mathrm{x}} \ln \left(1+\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)}{2+\frac{1}{\mathrm{x}} \ln \left(1+\frac{{\mathrm{x}}^4}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}\right)}\\ \mathrm{Note} \mathrm{that} \mathrm{as} \mathrm{x}\to \infty , \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\to 0 \mathrm{and} \mathrm{as} \mathrm{x}\to \infty , \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}\to 0\\ \left(\mathrm{Using} \mathrm{L} \text{'}\mathrm{Hospital}\text{'}\mathrm{s} \mathrm{rule}\right)\\ \mathrm{Hence} \mathrm{L}=\frac{1}{2}.\end{array}$