$f\left(x\right)=\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ satisfies the equation $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=$

$f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=\log \left(\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)+\log \left(\frac{1+x_2}{1-x_2}\right)$

$=\log \left(\frac{\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)}{\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)}\right)$

$=\log \left(\frac{1+x_1+x_2+x_1{x}_2}{1-x_1-x_2+x_1{x}_2}\right)$

$=\log \left(\frac{1+\left(\frac{x_1+x_2}{1+x_1{x}_2}\right)}{1-\left(\frac{x_1+x_2}{1+x_1{x}_2}\right)}\right)$

$=f\left(\frac{x_1+x_2}{1+x_1{x}_2}\right)$