$\int \frac{\left\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cdot {\mathrm{\varphi }}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\cdot \mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)\right\}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cdot \mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)}\{\log \mathrm{\varphi }(\mathrm{x})-\log \mathrm{f}(\mathrm{x}\left)\right\}\mathrm{dx}=$

$\begin{array}{l}\int \frac{\left\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{\varphi }}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)\right\}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cdot \mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)}\{\log \mathrm{\varphi }(\mathrm{x})-\log \mathrm{f}(\mathrm{x}\left)\right\}\mathrm{dx}\\ =\int \log \left(\frac{\mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)\frac{\left\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{\varphi }}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)\right\}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cdot \mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)}dx\\ put t= \log \left(\frac{\mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right) then dt=\frac{\left\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{\varphi }}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)\right\}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cdot \mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)}dx\\ G.I=\int t dt =\frac{t^2}{2}+k\\ = \frac{{\left(\log \left(\frac{\mathrm{\varphi }\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)\right)}^2}{2}+K\\ \end{array}$