Given $\left|\overrightarrow{A_1}\right|=2,\left|\overrightarrow{A_2}\right|=3$  and $\left|\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{A_2}\right|=3$ . Find the value of $\left(\overrightarrow{A_1}+2\overrightarrow{A_2}\right)\cdot \left(3\overrightarrow{A_1}-4\overrightarrow{A_2}\right)$

            $A_1=2,A_2=3,\left|\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{B_2}\right|=3$ 

$\Rightarrow$        ${\left|\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{B_2}\right|}^2=9\Rightarrow A_1^2+A_2^2+2\overrightarrow{A_1}.\overrightarrow{A_2}=9$

$\Rightarrow$        $2^2+3^2+2\overrightarrow{A_1}.\overrightarrow{A_2}=9\Rightarrow \overrightarrow{A_1}.\overrightarrow{A_2}=-2$

Now,   $(\overrightarrow{A_1}+2\overrightarrow{A_2}).(3\overrightarrow{A_1}-4\overrightarrow{A_2})=3A_1^2-8A_2^2+2\overrightarrow{A_1}.\overrightarrow{A_2}$

            $=3{\left(2\right)}^2-8{\left(3\right)}^2+2\left(-2\right)=-64$