$\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{bcos}\mathrm{x}}$, where a, b> 0 and a+b=u, a-b=v

	Column - I		Column - II
A)	v = 0	P)	$\frac{1}{\sqrt{\mathrm{u}}}\log \left(\frac{\sqrt{\mathrm{u}}+\tan \mathrm{x}/2}{\sqrt{\mathrm{u}}-\tan \mathrm{x}/2}\right)+\mathrm{c}$
B)	v >0	Q)	$\frac{2}{\sqrt{\mathrm{uv}}}{\tan }^{-1}(\tan \mathrm{x}/2\sqrt{\mathrm{v}/\mathrm{u}})+\mathrm{c}$
C)	v < 0	R)	$\frac{1}{\sqrt{-\mathrm{uv}}}\log \left|\frac{\sqrt{\mathrm{u}}+\sqrt{-\mathrm{v}}\tan \mathrm{x}/2}{\sqrt{\mathrm{u}}-\sqrt{-\mathrm{v}}\tan \mathrm{x}/2}\right|+\mathrm{c}$
D)	v = -1	S)	$\frac{2}{\mathrm{u}}\tan \mathrm{x}/2+\mathrm{c}$

	A	B	C	D
1.	S	Q	R	P
2.	Q	S	R	P
3.	S	R	P	P
4.	P	Q	R	S

$I=\int \frac{dx}{a+b\cos x}$

$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{u};\mathrm{a}-\mathrm{b}=\mathrm{v};\mathrm{a}=\frac{\mathrm{\mu }+\mathrm{v}}{2};\mathrm{b}=\frac{\mathrm{\mu }-\mathrm{v}}{2}$

$I=\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{u}+{\mathrm{vt}}^2}$

$For v=0,\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{u}}=\frac{2\mathrm{t}}{\mathrm{u}}+\mathrm{c}=\frac{2}{\mathrm{u}}\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{c}$

For v>0$\mathrm{I}=\frac{2}{\mathrm{v}}\int \frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{u}/\mathrm{v}}=\frac{2}{\mathrm{v}}\sqrt{\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}{\tan }^{-1}}\left(\mathrm{t}\sqrt{\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}}\right)+\mathrm{c}=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{uv}}}{\tan }^{-1}\left(\left(\tan \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\right)\sqrt{\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}}\right)+\mathrm{c}$

For v<0 $I=-\frac{2}{\mathrm{v}}\int \frac{\mathrm{dt}}{\frac{\mathrm{u}}{-\mathrm{v}}+{\mathrm{t}}^2}=\frac{2\sqrt{-\mathrm{v}}}{-\mathrm{v}2\sqrt{\mathrm{u}}}\log \left|\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{u}}{-\mathrm{v}}}+\mathrm{t}}{\sqrt{\frac{\mathrm{u}}{-v}}-\mathrm{t}}\right|+\mathrm{c}=-\frac{1}{\sqrt{-\mathrm{uv}}}\log \left|\frac{\sqrt{\mathrm{u}}+\sqrt{-\mathrm{v}}\tan (\mathrm{x}/2)}{\sqrt{\mathrm{u}}-\sqrt{-\mathrm{v}}\tan (\mathrm{x}/2)}\right|+\mathrm{c}$

For v=-1

$\mathrm{I}=-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{u}}}\log \left|\frac{\sqrt{\mathrm{u}}+\tan (\mathrm{x}/2)}{\sqrt{\mathrm{u}}-\tan (\mathrm{x}/2)}\right|+\mathrm{c}$