i) If $A-B=\frac{3\pi }{4}$ then show that $(1-\tan A)(1+\tan B)=2$

ii) If $A+B=\frac{\pi }{4}$ prove that 

a)  $(1+\tan A)(1+\tan B)=2$

b)  $(\cot A-1)(\cot B-1)=2$

i) If $A-B=\frac{3\pi }{4}$

apply ‘$Tan’$ on both sides 

$\mathrm{Tan}(A-B)=\mathrm{Tan}\left(\frac{3\pi }{4}\right)$

$\frac{\mathrm{Tan} A-\mathrm{Tan} B}{1+\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B}=\mathrm{Tan} \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)$

$\frac{\mathrm{Tan}A-\mathrm{Tan}B}{1+\mathrm{Tan}A\mathrm{Tan}B}=-\mathrm{Tan}\frac{\pi }{4}$

$\mathrm{Tan} A-\mathrm{Tan} B=-1-\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B$

$\mathrm{Tan} A-\mathrm{Ta}n B+\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B=-1$.......(1)

Now $(1-\mathrm{Tan}A)(1+\mathrm{Tan}B)$

$=1-\mathrm{Tan} A+\mathrm{Tan} B-\mathrm{Ta}nA \mathrm{Tan}B$

$=1-(\mathrm{Tan} A-\mathrm{Tan} B+\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B)$

$=1-(-1)=1+1=2$  (From (1))

$(1-\mathrm{Tan} A)(1+\mathrm{Tan} B)=2$

ii. a) $A+B=\frac{\pi }{4}$

Apply Tan on both sides 

$\mathrm{Tan} (A+B)=\mathrm{Tan} \frac{\pi }{4}\Rightarrow \frac{\mathrm{Tan} A+\mathrm{Tan} B}{1-\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B}=1$

$\mathrm{Tan} A+\mathrm{Tan} B=1-\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B$

$\mathrm{Tan} A+\mathrm{Tan}B+\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B=1$.........(1)

now $(1+\mathrm{Tan} A)(1+\mathrm{Tan} B)=$$1+\mathrm{Tan} A+\mathrm{Tan} B+\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B$

$=1+1$  (from (1)) = 2

b) $A+B=\frac{\pi }{4}$

Apply ‘Cot’ on both sides

$\mathrm{Cot} (A+B)=\mathrm{Cot} \frac{\pi }{4}-\Rightarrow \frac{\mathrm{Cot} A\mathrm{Co}t B-1}{\mathrm{Cot} B+\mathrm{Cot} A}=1$

$\Rightarrow \mathrm{Cot} A\mathrm{Cot} B-1=\mathrm{Cot} B+\mathrm{Cot} A$

$\Rightarrow \mathrm{Cot} A\mathrm{Cot} B=1+\mathrm{Cot} A+\mathrm{Cot} B$  ......(1)

now $(\mathrm{Cot} A-1)(\mathrm{Cot} B-1)$

$=\mathrm{Cot} A\mathrm{Cot} B-\mathrm{Cot} A-\mathrm{Cot} B+1$

$=1+\mathrm{Cot} A+\mathrm{Cot} B-\mathrm{Cot} A-\mathrm{Cot} B+1=2$