If | a | < 1 and | b | < 1, then the sum of the series $1+(1+\mathrm{a})\mathrm{b}+(1+\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2){\mathrm{b}}^2+(1+\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^3){\mathrm{b}}^3...$ is

$$\begin{gathered} 1+(1+\mathrm{a})\mathrm{b}+(1+\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2){\mathrm{b}}^2+(1+\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^3){\mathrm{b}}^3..... \\ 1+\left(\frac{1-{\mathrm{a}}^2}{1-\mathrm{a}}\right)\mathrm{b}+\left(\frac{1-{\mathrm{a}}^3}{1-\mathrm{a}}\right){\mathrm{b}}^2+\left(\frac{1-{\mathrm{a}}^4}{1-\mathrm{a}}\right){\mathrm{b}}^3 .... \\ \frac{1}{1-\mathrm{a}} \left[1-\mathrm{a}+\mathrm{b}-{\mathrm{a}}^2\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{a}}^3{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{b}}^3-{\mathrm{a}}^4{\mathrm{b}}^3 ....\right] \\ \frac{1}{1-\mathrm{a}} \left[\left(1+\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^2...\right)-\mathrm{a}\left(1+\mathrm{ab}+{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2 ....\right)\right] \\ \frac{1}{1-\mathrm{a}} \left[\frac{1}{1-\mathrm{b}}-\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{ab}}\right] \\ \frac{1}{1-\mathrm{a}} \left[\frac{1-\mathrm{ab}-\mathrm{a}+\mathrm{ab}}{(1-\mathrm{b}) (1-\mathrm{ab})}\right]=\frac{1}{(1-\mathrm{b}) (1-\mathrm{ab})} \end{gathered}$$