If $k>1,\left|z_1\right|<k$  and $\left|\frac{k-z_1{\overline{z}}_2}{z_1-k{z}_2}\right|=1,$  then

   $\left|\frac{k-z_1{\overline{z}}_2}{z_1-k{z}_2}\right|=1$

$\iff$    $|k-z_1{\overline{z}}_2{|}^2=|z_1-k{z}_2{|}^2$

$\iff$     $k^2+\left|z_1{\overline{z}}_{{}_2}\right|-k{z}_1{\overline{z}}_{{}_2}-k{\overline{z}}_{{}_1}{z}_2$

          $=|z_1{|}^2+k^2|z_2{|}^2-k{z}_1{\overline{z}}_2-k{\overline{z}}_1{z}_2$

$\Rightarrow$    $\left|z_1{|}^2\right|z_2{|}^2-|z_1{|}^2-k^2|z_2{|}^2+k^2=0$

$\Rightarrow$     $\left(\right|z_1{|}^2-k^2\left)\right(|z_2{|}^2-1)=0$

As    $\left|z_1\right|<k,$      we get    $|z_2{|}^2-1=0$   or   $\left|z_2\right|=1$