If $\left|\begin{array}{ccc}{(1+\mathrm{ax})}^2& {(1+\mathrm{ay})}^2& {(1+\mathrm{az})}^2\\ {(1+\mathrm{bx})}^2& {(1+\mathrm{by})}^2& {(1+\mathrm{bz})}^2\\ {(1+\mathrm{cx})}^2& {(1+\mathrm{cy})}^2& {(1+\mathrm{cz})}^2\end{array}\right| = \mathrm{\alpha }(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{z}-\mathrm{x})$

then ${\alpha }^3 + {\alpha }^2 -1 =$

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccc}1+{\mathrm{a}}^2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{ax} & 1+{\mathrm{a}}^2{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{ay} & 1+{\mathrm{a}}^2{\mathrm{z}}^2+2\mathrm{az}\\ 1+{\mathrm{b}}^2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{bx}& 1+{\mathrm{b}}^2{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{aby}& 1+{\mathrm{b}}^2{\mathrm{z}}^2+2\mathrm{bz}\\ 1+{\mathrm{c}}^2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{cx}& 1+{\mathrm{c}}^2{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{cy}& 1+{\mathrm{c}}^2{\mathrm{z}}^2+2\mathrm{cz}\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{a}}^2& 2\mathrm{a}\\ 1& {\mathrm{b}}^2& 2\mathrm{b}\\ 1& {\mathrm{c}}^2& 2\mathrm{c}\end{array}\right|, \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ {\mathrm{x}}^2& {\mathrm{y}}^2& {\mathrm{z}}^2\\ \mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\end{array}\right| \\ =2 (\mathrm{a}-\mathrm{b}) (\mathrm{b}-\mathrm{c}) (\mathrm{c}-\mathrm{a}) (\mathrm{x}-\mathrm{y}) (\mathrm{y}-\mathrm{z}) (\mathrm{z}-\mathrm{x}) \\ \therefore \mathrm{\alpha }=2 \\ \therefore {\mathrm{\alpha }}^3+{\mathrm{\alpha }}^2-1=8+4-1 \\ =11 \end{gathered}$$