If $\frac{1}{\left(1-x\right)\left(1-2x\right)\left(1-3x\right)}=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1-2x}+\frac{c}{1-3x}$ , then $\frac{a}{1}+\frac{b}{3}+\frac{c}{5}=$

$1=a\left(1-2x\right)\left(1-3x\right)+b\left(1-x\right)\left(1-3x\right)+c\left(1-x\right)\left(1-2x\right)$

Put $x=\frac{1}{2}\Rightarrow 1=b\left(\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{3}{2}\right)\Rightarrow 1=b\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{-1}{2}\right)\Rightarrow b=-4$

Put $x=1\Rightarrow 1=a\left(-1\right)\left(-2\right)\Rightarrow a=\frac{1}{2}$

Put $x=\frac{1}{3}\Rightarrow 1=c\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{2}{3}\right)\Rightarrow 1=c\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\Rightarrow c=\frac{9}{2}$

$\therefore \frac{a}{1}+\frac{b}{3}+\frac{c}{5}=\frac{1}{2}-\frac{4}{3}+\frac{9}{10}=\frac{1}{15}$