If  $\frac{1}{x(x+1)(x+2)\mathrm{....}(x+n)}=\frac{A_o}{x}+\frac{A_1}{x+1}+\frac{A_2}{x+2}+\mathrm{....}+\frac{A_n}{x+n}$  then  $A_r=$

Take $x=-r$  is  $\frac{1}{x(x+1)\mathrm{...}(x+r)(x+n)}\frac{(x+r)}{(x+n)}$     $=\frac{1}{-r(-r+1)(-1)\mathrm{.1.2}(n-r)}$

$=\frac{{(-1)}^r}{r.(r-1)\mathrm{...2.1.1.2...}(n-r)}=\frac{{(-1)}^r}{r!(n-r)!}$