If $\frac{1}{x\left(x^2+a^2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+a^2}$ , then

$\frac{1}{x\left(x^2+a^2\right)}=\frac{A\left(x^2+a^2\right)+\left(Bx+C\right)x}{x\left(x^2+a^2\right)}$

$1=A\left(x^2+a^2\right)+\left(Bx+C\right)x$

$1=A{x}^2+A{a}^2+B{x}^2+Cx$

$1=x^2\left(A+B\right)+Cx+A{a}^2$

$A+B=0\cdots \cdots \cdots \left(1\right)$

$C=0\cdots \cdots \cdots \left(2\right)$

$A=\frac{1}{a^2}$