If A and B are symmetric matrices of the same order and X = AB + BA and Y = AB- BA. Then ${\left(\mathrm{XY}\right)}^{\mathrm{T}}$ is equal to

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}=\mathrm{A}, {\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}=\mathrm{B} \\ \mathrm{xy}=(\mathrm{AB}+\mathrm{BA}) (\mathrm{AB}-\mathrm{BA}) \\ =\left(\mathrm{AB}\right).\mathrm{AB}+\left(\mathrm{BA}\right) \left(\mathrm{AB}\right)-\left(\mathrm{AB}\right) \mathrm{BA}-\left(\mathrm{BA}\right) \left(\mathrm{BA}\right) \\ \mathrm{So} {\left(\mathrm{xy}\right)}^{\mathrm{T}}={\left(\left(\mathrm{AB}\right) \left(\mathrm{AB}\right)\right)}^{\mathrm{T}}+{(\mathrm{BA}·\mathrm{AB})}^{\mathrm{T}}-{(\mathrm{AB}·\mathrm{BA})}^{\mathrm{T}}-{(\mathrm{BA}·\mathrm{BA})}^{\mathrm{T}} ={\left(\mathrm{AB}\right)}^{\mathrm{T}} {\left(\mathrm{AB}\right)}^{\mathrm{T}}+{\left(\mathrm{AB}\right)}^{\mathrm{T}} {\left(\mathrm{BA}\right)}^{\mathrm{T}}-{\left(\mathrm{BA}\right)}^{\mathrm{T}} {\left(\mathrm{AB}\right)}^{\mathrm{T}}-{\left(\mathrm{BA}\right)}^{\mathrm{T}} {\left(\mathrm{BA}\right)}^{\mathrm{T}} \therefore {\left(\mathrm{PQ}\right)}^{\mathrm{T}}={\mathrm{A}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{P}}^{\mathrm{T}} \\ =\left({\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right) \left({\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)+\left({\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right) \left({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}\right)-\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}\right) \left({\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right)-\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}\right) \left({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}} {\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}\right) \\ =\left(\mathrm{BA}\right) \left(\mathrm{BA}\right)+\left(\mathrm{BA}\right) \left(\mathrm{AB}\right)-\left(\mathrm{AB}\right) \left(\mathrm{BA}\right)-\left(\mathrm{AB}\right) \left(\mathrm{AB}\right) \\ =\mathrm{BA} (\mathrm{BA}+\mathrm{AB})-\mathrm{AB} (\mathrm{BA}+\mathrm{AB}) \\ =(\mathrm{BA}-\mathrm{AB}) (\mathrm{BA}+\mathrm{AB}) \\ =-\mathrm{yx} \end{gathered}$$