If a, b, c are in H.P. and ${\mathrm{a}}^2, {\mathrm{b}}^2, {\mathrm{c}}^2$ are in H.P. then

$$\begin{gathered} \mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\to \mathrm{H}.\mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{b}=\frac{2\mathrm{ac}}{\mathrm{a}+\mathrm{c}} \\ {\mathrm{a}}^2,{\mathrm{b}}^2,{\mathrm{c}}^2\to \mathrm{H}.\mathrm{P}\Rightarrow {\mathrm{b}}^2=\frac{2{\mathrm{a}}^2{\mathrm{c}}^2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2} \\ {\left(\frac{2\mathrm{ac}}{\mathrm{a}+\mathrm{c}}\right)}^2=\frac{2{\mathrm{a}}^2{\mathrm{c}}^2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2}\Rightarrow \frac{4}{{\left|\mathrm{a}+\mathrm{c}\right|}^2}=\frac{2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2} \\ 2{\mathrm{a}}^2+2{\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2+2\mathrm{ac}\Rightarrow {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2-2\mathrm{ac}=0 \\ \Rightarrow {(\mathrm{a}-\mathrm{c})}^2=0 \Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{c} \mathrm{b}=\frac{2\mathrm{ac}}{\mathrm{a}+\mathrm{c}}=\frac{2{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{a}}=\mathrm{a} \end{gathered}$$