If  $a,b,c,d$  and  $p$ are distinct real numbers such that   $(a^2+b^2+c^2)p^2-2(ab+bc+cd)p+(b^2+c^2+d^2)\le 0$   then  $a,b,c,d$ . 

$(a^2{p}^2-2abp+b^2)+(b^2{p}^2-2bcp+c^2)$  +  $(c^2{p}^2-2cdp+d^2)\le 0$
$\Rightarrow {(ap-b)}^2+{(bp-c)}^2+{(cp-d)}^2\le 0$           
$\Rightarrow {(ap-b)}^2+{(bp-c)}^2+{(cp-d)}^2=0$            is possible only 

 If  $ap-b=0, bp-c=0,cp-d=0$

  $\Rightarrow \frac{b}{a}=p,\frac{c}{b}=p,\frac{d}{c}=p$  $\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$