$$\begin{gathered} mass spring attached to a spring time period =T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}---\left(1\right) \\ \mathrm{if} \mathrm{a} \mathrm{spring} \mathrm{is} \mathrm{cut} \mathrm{into} \mathrm{n} \mathrm{equal} \mathrm{parts} \mathrm{then} \mathrm{new} \mathrm{spring} \mathrm{constant} \mathrm{of} \mathrm{each} \mathrm{part} {\mathrm{k}}^1=\mathrm{nk} \\ \mathrm{time} \mathrm{period} \mathrm{of} \mathrm{each} \mathrm{part} ={\mathrm{T}}^1=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{k}}^1}}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{nk}}}----\left(2\right) \\ \mathrm{divide} \mathrm{eqn} \left(2\right) \mathrm{by} \left(1\right) \\ \frac{{\mathrm{T}}^1}{\mathrm{T}}=\frac{2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{nk}}}}{2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}} \\ \frac{{\mathrm{T}}^1}{\mathrm{T}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}} \\ {\mathrm{T}}^1=\frac{\mathrm{T}}{\sqrt{\mathrm{n}}} \end{gathered}$$