If ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=-2$ and $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1+{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ \left(1+{\mathrm{a}}^2\right)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{b}}^2\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ \left(1+{\mathrm{a}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\end{array}\right|$ then f(x) is a polynomial of degree

Operating ${\mathrm{C}}_1\to {\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2+{\mathrm{C}}_3$, we get

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1+2\mathrm{x}+\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ 1+2\mathrm{x}+\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{b}}^2\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ 1+2\mathrm{x}+\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\end{array}\right|$

     $=\left|\begin{array}{ccc}1& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ 1& 1+{\mathrm{b}}^2\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ 1& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\end{array}\right|\left[\because {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=-2\right]$

     $=\left|\overline{)\begin{array}{ccc}1& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ 0& 1-\mathrm{x}& 0\\ 0& 0& 1-\mathrm{x}\end{array}}\right|\begin{array}{r}\text{ [Operating }{\mathrm{R}}_2\to {\mathrm{R}}_2-{\mathrm{R}}_1\\ \text{ and }\left.{\mathrm{R}}_3\to {\mathrm{R}}_3-{\mathrm{R}}_1\right]\end{array}$

    $\begin{array}{l}=\left(1\right)\left[(1-\mathrm{x}{)}^2-0\right]\\ =(1-\mathrm{x}{)}^2\end{array}$

which is a polynomial of degree 2.