If $a,b,c$ are all different and $\left|\begin{array}{ccc}1+a^2& 1+b^2& 1+c^2\\ a& b& c\\ a^3& b^3& c^3\end{array}\right|=0$ , then $a+b+c=$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^3& b^3& c^3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{a}^2& b^2& c^2\\ a& b& c\\ a^3& b^3& c^3\end{array}\right|=0$

$c_3\to c_3\to c_2,c_2\to c_2\to c_1$   $R_1\leftrightarrow R_2$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& b-a& c-b\\ a^3& b^3-a^3& c^3-b^3\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\\ a^3& b^3& c^3\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow \left(b-a\right)\left(c-b\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& 1& 1\\ a^3& b^2+a^2+ab& c^2+b^2+cb\end{array}\right|-abc\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[c^2+b^2+bc-b^2-a^2-ab\right]-abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0$

$\Rightarrow \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c^2-a^2+bc-ab\right)-abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0$

$\Rightarrow \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[\left(c+a\right)\left(c-a\right)+b\left(c-a\right)\right]-abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0$

$\Rightarrow \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)-abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0$

$\Rightarrow \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left[\left(a+b+c\right)-abc\right]=0$

$\Rightarrow \left(a+b+c\right)-abc=0$

$\Rightarrow a+b+c=abc$