If  $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{R}$ and the equations ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ and ${\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2=0$ have two roots in common, then

We have,

$\begin{array}{r}{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2=0\\ \Rightarrow (\mathrm{x}+1{)}^3+1=0\end{array}$

$\begin{array}{lc}\Rightarrow & (\mathrm{x}+1+1)\left[\right(\mathrm{x}+1{)}^2-(\mathrm{x}+1)+1]=0\\ \Rightarrow & (\mathrm{x}+2)({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1)=0\\ \Rightarrow & \mathrm{x}=-2,\frac{-1\pm \sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\\ \Rightarrow & \mathrm{x}=-2,\mathrm{\omega },{\mathrm{\omega }}^2\end{array}$

Since, $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{R},{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ cannot have one real and one imaginary root. Therefore, two common roots of ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 \text{and }{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2=0 \text{are }\mathrm{\omega },{\mathrm{\omega }}^2$

$\begin{array}{rl}\mathrm{thus},-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}& =\mathrm{\omega }+{\mathrm{\omega }}^2=-1\\ \Rightarrow \mathrm{a}& =\mathrm{b}\\ \mathrm{and} \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}& =\mathrm{\omega }\cdot {\mathrm{\omega }}^2=1\Rightarrow \mathrm{c}=\mathrm{a}\\ \Rightarrow \mathrm{a}& =\mathrm{b}=\mathrm{c}\end{array}$