If  $\overrightarrow{a}=\widehat{i}+\widehat{j}+\widehat{k}\text{ and }\overrightarrow{b}=\widehat{i}-2\widehat{j}+k$  then the vector 

  $\text{ c }$ such that $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=2$ and  $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}$ is

 

Let  $\overrightarrow{c}=x\widehat{i}+y\widehat{j}+z\widehat{k}$ . Then 

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=2$ and $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=2$ and $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=2$ and  $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=0$                      $[\because (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{c}=0]$

$\Rightarrow x+y+z=2$ and $x-2y+z=0$ 

$\Rightarrow y=\frac{2}{3}$ and $x+z=\frac{4}{3}$ 

Clearly, option (b) satisfies the above conditions.