If $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{{\mathrm{x}}^{\tan \mathrm{x}}\right\}={\mathrm{x}}^{\tan \mathrm{x}}\left\{\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\log \mathrm{x}\right\} \mathrm{then} \frac{2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=$

Let y = x^tanx
logy=tanx.logx
Diff. w.r.t to x
$\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{y}}\cdot \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\tan \mathrm{x}\times \frac{1}{\mathrm{x}}+\log \mathrm{x}\cdot {\sec }^2\mathrm{x}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^{\tan \mathrm{x}}\left\{\frac{\tan \mathrm{x}}{\mathrm{x}}+{\sec }^2\mathrm{x}\cdot \log \mathrm{x}\right\}\\ \therefore \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\tan \mathrm{xg}\left(\mathrm{x}\right)={\sec }^2\mathrm{x}\\ \frac{2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{2\tan \mathrm{x}}{{\sec }^2\mathrm{x}}=\frac{2\cdot \sin \mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}\times {\cos }^2\mathrm{x}=\sin 2\mathrm{x}\end{array}$