If $D_r = \left|\begin{array}{ccc}r& x& \frac{n(n+1)}{2}\\ 2r-1& y& n^2\\ 3r-2& z& \frac{n(3n-1)}{2}\end{array}\right|$ then $\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{r}} =$

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{D}}_{\mathrm{r}} & =& \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{r}& \mathrm{x}& \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}\\ 2\mathrm{r}-1& \mathrm{y}& {\mathrm{n}}^2\\ 3\mathrm{r}-2& \mathrm{z}& \frac{\mathrm{n}(3\mathrm{n}-1)}{2}\end{array}\right|\\ \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} {\mathrm{D}}_{\mathrm{r}}& =& \left|\begin{array}{ccc}\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{r}& \mathrm{x}& \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}\\ \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} (2\mathrm{r}-1)& \mathrm{y}& {\mathrm{n}}^2\\ \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} (3\mathrm{r}-2)& \mathrm{z}& \frac{\mathrm{n}(3\mathrm{n}-1)}{2}\end{array}\right|\\ & =& \left|\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}& \mathrm{x}& \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}\\ {\mathrm{n}}^2& \mathrm{y}& {\mathrm{n}}^2\\ \frac{\mathrm{n}(3\mathrm{n}-1)}{2}& \mathrm{z}& \frac{\mathrm{n}(3\mathrm{n}-1)}{2}\end{array}\right|\\ & =& 0\end{array}$