$\text{ If }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{a}}_0+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} {\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}\cos \left(\mathrm{ix}\right)+\sum _{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}} {\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}\sin \left(\mathrm{jx}\right)\text{ then }{\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cos \mathrm{kxdx}=$

$$\begin{gathered} {\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cos \mathrm{kxdx}={\int }_0^{\mathrm{\pi }} \cos \mathrm{kx}\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{x})+\mathrm{f}(-\mathrm{x}\left)\right]\mathrm{dx} \\ ={\int }_0^{\mathrm{\pi }} {\mathrm{a}}_0\cos \mathrm{kx}+2{\mathrm{a}}_1\cos \mathrm{xcos}\mathrm{kx}+... \\ +2{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}{\cos }^2\mathrm{kx}+\dots +2{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\cos \mathrm{nxcos}\mathrm{kx} \\ now{\int }_0^{\mathrm{\pi }} 2\cos \mathrm{xcos}\mathrm{kx}={\int }_0^{\mathrm{\pi }} \cos (\mathrm{k}+1)\mathrm{x}+\cos (\mathrm{k}-1)\mathrm{xdx} \\ ={\left(\frac{\sin (\mathrm{k}+1)\mathrm{x}}{\mathrm{k}+1}+\frac{\sin (\mathrm{k}-1)\mathrm{x}}{\mathrm{k}-1}\right)}_0^{\mathrm{\pi }}=0 \\ \therefore {\int }_0^{\mathrm{\pi }} \mathrm{acos}\mathrm{kx}+2{\mathrm{a}}_1\cos \mathrm{xcos}\mathrm{kx}+\dots . \\ +{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}[1+\cos 2\mathrm{k}]+\dots \dots +{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\cos \mathrm{xcos}\mathrm{kx} \\ ={\int }_0^{\mathrm{\pi }} {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}+0={\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$