$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-3=3(x^2-1)$
 $f(-1)\cdot f\left(1\right)=(1-3+{\sin }^{-1}(a^2-3a+2))(-1+3+{\sin }^{-1}(a^2-3a+2))<0$
 $\Rightarrow ({\sin }^{-1}(a^2-3a+2)-2)(2+{\sin }^{-1}(a^2-3a+2))<0$
                                $\downarrow$                                              $\downarrow$
                     always negative                        always positive
But  $-1\le a^2-3a+2\le 1$
            ${(a-\frac{3}{2})}^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2\le 0$
           
 $a\in [a-\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)][a-\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)]\le 0$
 $\Rightarrow a\in [\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}]$
$\Rightarrow a\in [\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}],a=1$