If $\mathrm{f}(\mathrm{x}-\mathrm{y}),\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\text{ and }\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})$  are in A.P. for all ,x,y and  $\mathrm{f}\left(0\right)\ne 0$ then:

Since $\mathrm{f}(\mathrm{x}-\mathrm{y}),\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\text{ and }\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})$ are in A.P. $\therefore 2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})+\mathrm{f}(\mathrm{x}-\mathrm{y})$…(1) for all x, y Putting x = y = 0 in (1)
$\Rightarrow 2\mathrm{f}\left(0\right)\mathrm{f}\left(0\right)=\mathrm{f}\left(0\right)+\mathrm{f}\left(0\right)=2\mathrm{f}\left(0\right)\Rightarrow \mathrm{f}\left(0\right)\left[\mathrm{f}\right(0)-1]=1[\because \mathrm{f}(0)\ne 0]\Rightarrow$
$\begin{array}{l}\text{ f(0)= }1\text{ Putting }\mathrm{x}=0\text{ in }\left(1\right)\text{, we get }2\mathrm{f}\left(0\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{y})\\ \Rightarrow 2\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{y})\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}(-\mathrm{y})\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}(-\mathrm{x})\text{ for all }\mathrm{x}\therefore \mathrm{f}\left(3\right)=\mathrm{f}(-3)\end{array}$