If  f(a+b+1-x) = f(x) , for all x, where a and b are fixed positive real numbers, then $\frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{x}(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+1))\mathrm{dx}\mathrm{is}\mathrm{equal}$ among  these 

(i) $\underset{\mathrm{a}-1}{\overset{\mathrm{b}-1}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$         

  (ii) $\underset{a+1}{\overset{b+1}{\int }}f(x+1)dx$       

(iii) $\underset{a-1}{\overset{b-1}{\int }}f(x+1)dx$        

(iv) $\underset{a+1}{\overset{b+1}{\int }}f\left(x\right)dx$ 

are
 

Let, $\mathrm{I}=\frac{1}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})}\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{x}[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)]\mathrm{dx}.......\left(\mathrm{i}\right)$

Again, $\mathrm{I}=\frac{1}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})}\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x})[\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+1-\mathrm{x})]\mathrm{dx}$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\frac{1}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})}\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x})[\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)]\mathrm{dx}.......\left(\mathrm{ii}\right)$

$[\mathrm{Given},\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+1-\mathrm{x})=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)]$

Adding (i) and (ii), we get $\Rightarrow 2\mathrm{I}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}[\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)]\mathrm{dx}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2I={\int }_a^b f(x+1)dx+{\int }_a^b f\left(x\right)dx\Rightarrow 2I={\int }_a^b f(a+b+1-x)dx+{\int }_a^b f\left(x\right)\\ \Rightarrow 2I=2{\int }_a^b f\left(x\right)dx\Rightarrow I={\int }_a^b f\left(x\right)dx\therefore I={\int }_{a-1}^{b-1} f(z+1)dz\\ \text{ Now, let }x=z+1\Rightarrow dx=dz\text{ When }x=a\Rightarrow z=a-1\\ \text{ when }x=b\Rightarrow z=b-1\therefore \end{array}$