If functions $\mathrm{u}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{sinx}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{and}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{v}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}$satisfy the equation 

$\mathrm{u}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{sinx}\&\mathrm{v}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}$
$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}=2\mathrm{v}\\ \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{u}+\mathrm{v}\mathrm{and}\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{v}-\mathrm{u}\\ \mathrm{v}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{uv}+{\mathrm{u}}^2\&\mathrm{u}.\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{uv}-{\mathrm{u}}^2\end{array}$
$\mathrm{v}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{u}.\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{v}}^2+{\mathrm{u}}^2$