If f(x) satisfies the equation$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{f}(\mathrm{x}-2)& \mathrm{f}(\mathrm{x}+5)& \mathrm{f}(\mathrm{x}-2)\\ 5& 4& -5\\ 10& 12& 30\end{array}\right|=0$ for all real x then f(x) is periodic with period

Applying ${\mathrm{R}}_3\to {\mathrm{R}}_3+2{\mathrm{R}}_2$and taking 20 common
from R₃ then $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{f}(\mathrm{x}-2)& \mathrm{f}(\mathrm{x}+5)& \mathrm{f}(\mathrm{x}-2)\\ 5& 4& -5\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0$
Now applying ${\mathrm{C}}_2\to {\mathrm{C}}_2-{\mathrm{C}}_1 \mathrm{and} {\mathrm{C}}_3\to {\mathrm{C}}_3-{\mathrm{C}}_1,$
then$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{f}(\mathrm{x}-2)& \mathrm{f}(\mathrm{x}+5)-\mathrm{f}(\mathrm{x}-2)& 0\\ ⋮& & \\ 5& -1& -10\\ ⋮& & \\ 1& 0& 0\end{array}\right|$
$\begin{array}{l}\Rightarrow -10\left\{\mathrm{f}\right(\mathrm{x}+5)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+2\left)\right\}=0\\ \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}+5)=\mathrm{f}(\mathrm{x}-2)\text{ Replacing }\mathrm{x}\text{ by }\mathrm{x}+2,\text{ then }\\ \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}+7)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \therefore \text{ Period }=7\end{array}$