If $f(x+1)+f(x-1)=2f\left(x\right)$  and $f\left(0\right)=0$ , then $f\left(n\right)$ , $n\in N$  is

$f(x+1)+f(x-1)=2f\left(x\right),f\left(0\right)=0$

Putting $x=1,f\left(2\right)+f\left(0\right)=2f\left(1\right)$

$\therefore f_2=2f\left(1\right)$

Let $f\left(k\right)=kf\left(1\right)$  for $k\le n$ , then $f(n+1)+f(n-1)=2f\left(n\right)$

$\Rightarrow f(n+1)=2\left(nf\right(1\left)\right)-f(n-1)$

                       $=2nf\left(1\right)-(n-1)f\left(1\right)$

                       $=(n+1)f\left(1\right)$

$\therefore$   $f\left(n\right)=nf\left(1\right)\forall n\in N$ .