if   $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin \left(\mathrm{a}+1\right)\mathrm{x}+\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}},& \mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}<0\\ \frac{{\left(\mathrm{x}+{\mathrm{bx}}^2\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\mathrm{bx}}^{\frac{3}{2}}},& \mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}>0\end{array}\right.$  and  $\text{⨍ }\left(0\right)\text{=c}$ is continuous at $\mathrm{x}=0$ then 

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sin \left(\mathrm{a}+1\right)\mathrm{x}+\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}} \mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}<0\\ \frac{{\left(\mathrm{x}+{\mathrm{bx}}^2\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\mathrm{bx}}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}>0\\ \mathrm{c} \mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}=0\end{array}\right.$ is continuous at x=0

$\Rightarrow \mathrm{LHL}=\mathrm{RHL}=\mathrm{f}\left(\mathrm{o}\right)$

$\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim } \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)$

$\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{ }\frac{\sin \left(\mathrm{a}+1\right)\mathrm{x}+\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\left(\mathrm{x}+{\mathrm{bx}}^2\right)}^{\frac{1}{2}}-{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}}{{\mathrm{bx}}^{\frac{3}{2}}}=\mathrm{c}$

$\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{ }\frac{\sin \left(\mathrm{a}+1\right)\mathrm{x}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\left(1+\mathrm{b}{\mathrm{ }}^2\right)}^{\frac{1}{2}}-1}{\mathrm{bx}}=\mathrm{c}$

$\mathrm{a}+1+1=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{ }\frac{\left(1+\mathrm{bx}\right)-1}{\mathrm{bx}}\times \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{bx}}+1}=\mathrm{c}\mathrm{ }$

$\mathrm{a}+2=\frac{1}{2}=\mathrm{c}$

$\therefore \mathrm{a}=\frac{-3}{2},\mathrm{ }\mathrm{c}=\frac{1}{2},\mathrm{ }\mathrm{b}\ne 0$

Option (1) is correct