If ${\mathrm{h}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{h}}_{2,}{\mathrm{h}}_{\mathrm{3}}$ are lengths of altitudes of ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{le}}\mathrm{ABC}$  and r is the in radius then   $\frac{{\text{h}}_{\text{1}}\text{+r}}{{\text{h}}_{\text{1}}\text{-r}}+\frac{{\mathrm{h}}_2+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_2-\mathrm{r}}+\frac{{\mathrm{h}}_3+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_3-\mathrm{r}}$ is 

${\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\frac{2\mathrm{\Delta }}{\mathrm{a}},{\mathrm{h}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{2\mathrm{\Delta }}{\mathrm{b}},{\mathrm{h}}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{2\mathrm{\Delta }}{\mathrm{c}}$
$\frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}-\mathrm{r}}\mathrm{=}\frac{\frac{2\mathrm{\Delta }}{\mathrm{a}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{s}}}{\frac{2\mathrm{\Delta }}{\mathrm{a}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{s}}}\mathrm{=}\frac{2\mathrm{s}+\mathrm{a}}{2\mathrm{s}-\mathrm{a}}$
$\frac{{\mathrm{h}}_1+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_1-\mathrm{r}}+\frac{{\mathrm{h}}_2+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_2-\mathrm{r}}+\frac{{\mathrm{h}}_3+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_3-\mathrm{r}}=\sum \frac{2\mathrm{s}+\mathrm{a}}{2\mathrm{s}-\mathrm{a}}=\sum \frac{4\mathrm{s}}{2\mathrm{s}-\mathrm{a}}-3.........\left(1\right)$
$\mathrm{A}.\mathrm{M}\ge \mathrm{H}.\mathrm{M}$
But $\frac{\frac{4\mathrm{s}}{2\mathrm{s}-\mathrm{a}}+\frac{4\mathrm{s}}{2\mathrm{s}-\mathrm{b}}+\frac{4\mathrm{s}}{2\mathrm{s}-\mathrm{c}}}{3}\ge \frac{3}{\frac{2\mathrm{s}-\mathrm{a}}{4\mathrm{s}}+\frac{2\mathrm{s}-\mathrm{b}}{4\mathrm{s}}+\frac{2\mathrm{s}-\mathrm{c}}{4\mathrm{s}}}=3$
$\sum \frac{4\mathrm{s}}{2\mathrm{s}-\mathrm{a}}\ge 9$
From (1)$\Rightarrow \frac{{\mathrm{h}}_1+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_1-\mathrm{r}}+\frac{{\mathrm{h}}_2+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_2-\mathrm{r}}+\frac{{\mathrm{h}}_3+\mathrm{r}}{{\mathrm{h}}_3-2}=\sum \frac{4\mathrm{s}}{2\mathrm{s}-\mathrm{a}}-3$$\ge 9-3=6$