If in the expansion of $(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}$, a, b, c are three consecutive coefficients, then n =

Here $\mathrm{a}{=}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1},\mathrm{b}{=}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\text{ and }\mathrm{c}{=}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}+1}$

$\frac{{\mathrm{n}}_{{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}}}}{{\mathrm{n}}_{{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}-1}}}$$=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$,$\Rightarrow \frac{\mathrm{n}-\mathrm{r}+1}{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$$\Rightarrow \mathrm{an}-\mathrm{ar}+\mathrm{a}=\mathrm{br}$$\Rightarrow \mathrm{an}-\mathrm{ar}=\mathrm{br}-\mathrm{a}$$............\left(\mathrm{I}\right)$

  $\Rightarrow \mathrm{an}-\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{r}=-\mathrm{a}$

 $\frac{{\mathrm{n}}_{{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}+1}}}{{\mathrm{n}}_{{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}}}}=\frac{c}{b}\Rightarrow \frac{n-r}{r+1}=\frac{c}{b}\Rightarrow bn-br=cr+c...........\left(Ii\right)$

$solve \left(I\right) and \left(Ii\right)$

 $\mathrm{n}=\frac{2\mathrm{ac}+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}}{{\mathrm{b}}^2-\mathrm{ac}}$