If k and n are positive integers and  ${\mathrm{S}}_{\mathrm{k}}=1^{\mathrm{k}}+2^{\mathrm{k}}+3^{\mathrm{k}}+\dots +{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}\text{ then }\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{m}}{ }^{\mathrm{m}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}.\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}\right)$ is equal to

If k and n are positive integers ${\mathrm{S}}_{\mathrm{k}}=1^{\mathrm{k}}+2^{\mathrm{k}}+3^{\mathrm{k}}+\dots +{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}$ then 

$\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{m}}{ }^{\mathrm{m}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\cdot \left({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}\right)=\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{m}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}=\sum _{\mathrm{r}=1}^{11}{ }^{\mathrm{m}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\left[1^{\mathrm{r}}+2^{\mathrm{r}}+\dots {\mathrm{n}}^{\mathrm{r}}\right]$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \sum _{\mathrm{K}=1}^{\mathrm{n}} \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{m}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{\mathrm{K}}^r=\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} (1+\mathrm{K}{)}^{\mathrm{m}+1}-1-{\mathrm{k}}^{\mathrm{m}+1}\\ \sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \left[(1+\mathrm{K}{)}^{\mathrm{m}+1}-{\mathrm{K}}^{\mathrm{m}+1}\right]-\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} 1\Rightarrow (\mathrm{n}+1{)}^{\mathrm{m}+1}-1-\mathrm{n}\end{array}$