If $\underset{\mathrm{t}\to \mathrm{x}}{lim} \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)}{(\mathrm{t}-\mathrm{x})\left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){)}^2}=2$ and f(0) = 1/2, then the value of f '(0) is

$\begin{array}{l}\underset{\mathrm{t}\to \mathrm{x}}{lim} \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)}{(\mathrm{t}-\mathrm{x})\left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){)}^2}=2\\ \text{or }\underset{\mathrm{t}\to \mathrm{x}}{lim} \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{t}\right)}{1\cdot \left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){)}^2}=2\\ \text{or }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{1.\left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){)}^2}=2\\ \text{or }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)=2\\ \text{or }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=2\mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array}$
f(0) = 2
or 1/f(0)=c
c=2
$\begin{array}{l}\text{or }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{2\mathrm{x}+2}\\ {\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(2\mathrm{x}+2)-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{(2\mathrm{x}+2{)}^2}\end{array}$