If  $\log (a+c),\log (a+b),\log (b+c),$ are in A.P. and  $a,c,b,$ are in H.P, then the value of  $a+b$ is (given  $a,b,c>0$ ) 

 $\log (a+c)+\log (b+c)=2\log (a+b)$
 $(a+c)(b+c)={(a+b)}^2$
$\Rightarrow ab+c(a+b)+c^2={(a+b)}^2$                                            (1)
Also,  $c=\frac{2ab}{a+b}\Rightarrow 2ab=c(a+b)$
$\Rightarrow 2ab+2c(a+b)+2c^2=2{(a+b)}^2$                                 (2)
From (1) and (2), 
 $c(a+b)+2c(a+b)+2c^2=2{(a+b)}^2$
 $2{(a+b)}^2-3c(a+b)-2c^2=0$
 $\therefore a+b=\frac{3c\pm \sqrt{9c^2+16c^2}}{4}=\frac{3c\pm 5c}{4}=2cor-\frac{c}{2}$
 $\therefore a+b=2c(\because a,b,c>0)$