If log $(1+x)-\frac{2x}{2+x}$ is increasing then

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\log \left(1+\mathrm{x}\right)-2\mathrm{x}/2+\mathrm{x} \\ {\mathrm{f}}^{\mathrm{I}}\left(\mathrm{x}\right)=1/1+\mathrm{x}-\left[\left(2+\mathrm{x}\right)2-2\mathrm{x}\left(1\right)/{\left(2+\mathrm{x}\right)}^2\right] \\ =1/1+\mathrm{x}-\left[4+2\mathrm{x}-2\mathrm{x}/{\left(2+\mathrm{x}\right)}^2\right] \\ =1/1+\mathrm{x}-4/{\left(2+\mathrm{x}\right)}^2 \\ =4+{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-4-4\mathrm{x}/\left(1+\mathrm{x}\right){\left(2+\mathrm{x}\right)}^2 \\ ={\mathrm{x}}^2/\left(1+\mathrm{x}\right){\left(2+\mathrm{x}\right)}^2 \end{gathered}$$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$is increasing 

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{f}}^{\mathrm{I}}\left(\mathrm{x}\right)>0 \\ 1+\mathrm{x}>0\Rightarrow \mathrm{x}>-1 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\in \left(-1,\infty \right) \end{gathered}$$