If  $\frac{\log a}{b-c}=\frac{\log b}{c-a}=\frac{\log c}{a-b}$ , then  $a^{b+c}{b}^{c+a}{c}^{a+b}=$

$\log b=k\left(c-a\right)$

$\log c=k\left(a-b\right)$

Now $\log \left(a^{b+c}{b}^{c+a}{c}^{a+b}\right)$

$=\left(b+c\right)\log a+\left(c+a\right)\log b\left(a+b\right)\log c$

$=k\left(b^2-c^2\right)+k\left(c^2-a^2\right)+k\left(a^2-b^2\right)$

$=k\left(b^2-c^2+c^2+a^2-b^2\right)$

$\log \left(a^{b+c}.b^{c+a}.c^{a+b}\right)=0=\log 1$

So $a^{b+c}.b^{c+a}.c^{a+b}=1$