If $\frac{\log x}{a+b-2c}=\frac{\log y}{b+c-2a}=\frac{\log z}{c+a-2b}$ , then $xyz=$

$\log y=k\left(b+c-2a\right)$

$\log z=k\left(c+a-2b\right)$

Now $\log \left(xyz\right)=\log x+\log y+\log z$

$=k\left(a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b\right)$

$=0$

So $\log \left(xyz\right)=\log 1$

$\left(xyz\right)=1$