If  $\frac{\log x}{b-c}=\frac{\log y}{c-a}=\frac{\log z}{a-b}$ ,  then  $x^a.y^b.z^c=$

$\log x=k(b-c)$

$\log y=k(c-a)$

$\log z=k(a-b)$

Now  $\log (x^a.y^b.z^c)=a\log x+b\log y+c\log z$

$=ak(b-c)+bk(c-a)+ck(a-b)$

$=k(ab-ac+bc-ab+ac-bc)$

$=0$

$\log (x^a.y^b.z^c)=0=1$

So  $x^a.y^b.z^c=1$