If n is a positive integer, then value of ${(\text{3n+2)}}^{\text{n}}{\text{C}}_{\text{0}}{\text{+(3n-1)}}^{\text{n}}{\text{C}}_{\text{1}}{\text{+(3n-4)}}^{\text{n}}{\text{C}}_{\text{2}}\text{+}\mathrm{....}{\text{+\_2(}}^{\text{n}}{\text{C}}_{\text{n}}\text{)}$  is

$\begin{array}{l}\text{Let }\mathrm{S}=(3\mathrm{n}+2{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0+(3\mathrm{n}-1{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1+\dots .+2{ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}} \to 1\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{S}=2^{ \mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0+5^{ \mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1+\dots +(3\mathrm{n}-1{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{n-1}+(3\mathrm{n}+2{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_n \to 2\\ \left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow 2 \mathrm{S}=(3\mathrm{n}+4)\left[{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}_0+{}^n\mathrm{C}_1+\dots +{}^n\mathrm{C}_{n-1}+{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}\right]=(3\mathrm{n}+4)2^{\mathrm{n}}\\ \therefore \mathrm{S}=(3\mathrm{n}+4)2^{\mathrm{n}-1}\end{array}$