If n is a positive integer, then value of ${(3\mathrm{n}+2)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0+{(3\mathrm{n}-1)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1+{(3\mathrm{n}-4)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2+\cdots +2\left({ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\right)$ is

Let $\mathrm{S}={(3\mathrm{n}+2)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0+{(3\mathrm{n}-1)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1+\cdots +5^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}-1}+2^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\to \left(1\right)$

     $\begin{array}{l}\therefore \mathrm{S}=2^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}+5^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}-1}+\cdots +{(3\mathrm{n}-1)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1+{(3\mathrm{n}+2)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0\\ \Rightarrow \mathrm{S}=2^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0+5^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1+\cdots +{(3\mathrm{n}-1)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}-1}+{(3\mathrm{n}+2)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\to \left(2\right)\\ \left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow 2\mathrm{S}=(3\mathrm{n}+4)\left[{ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0{+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1+\cdots {+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}-1}{+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\right]=\left(3\mathrm{n}+4\right)2^n\\ S=\left(3n+4\right)2^{n-1}\end{array}$