If  $p^{th}$  term of an A.P. is $\frac{1}{q}$  and $q^{th}$ term of A.P. is $\frac{1}{p}$  then sum of the first p q terms is

$q^{th}$  term $\left(a_q\right)=a+\left(q-1\right)d=\frac{1}{p}\Rightarrow \left(2\right)$

$\left(1\right)-\left(2\right)$ $\Rightarrow$

$\left(p-1\right)d-\left(q-1\right)d=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$

$\left(p-1-q+1\right)d=\frac{p-q}{pq}$

$\left(p-q\right)d=\frac{p-q}{pq}$

$d=\frac{1}{pq}$

Put $d=\frac{1}{pq}$  in $\left(1\right)$

$a+\left(p-1\right)\left(\frac{1}{pq}\right)=\frac{1}{q}$

$a=\frac{1}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{pq}=\frac{1}{pq}$

$S_{pq}=\frac{pq}{2}\left[2a+\left(pq-1\right)d\right]$

$=\frac{pq}{2}\left(\frac{2}{pq}+\left(pq-1\right)\left(\frac{1}{pq}\right)\right)$

$=1+\frac{1}{2}\left(pq-1\right)$

$=\frac{1}{2}pq+1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}pq+\frac{1}{2}$

$S_{pq}=\frac{1}{2}\left(pq+1\right)$