If  ${\sin }^{2}A=x$ then $\sin A\sin 2A\sin 3A\sin 4A$ is a polynomial in x, the sum of whose coefficients is

$Wehave$$\sin A\sin 2A\sin 3A\sin 4A$$=\sin A\left(2\sin A\cos A\right)\left(3\sin A-4{\sin }^{3}A\right)\times 2\sin 2A\cos 2A$

                                                                             $=2{\sin }^{2}A\cos A\times \sin A\left(3-4{\sin }^{2}A\right)\times 2\times 2\sin A\cos A\left(1-2{\sin }^{2}A\right)$

                                                                               $=8{\sin }^{4}A{\cos }^{2}A\left(3-4{\sin }^{2}A\right)\left(1-2{\sin }^{2}A\right)$

                                                                               $=8x^2\left(1-x\right)\left(3-4x\right)\left(1-2x\right)$

                                                                                $=24x^2-104x^3+144x^4-64x^5$

$\therefore$ The sum of coefficients = 0