If S_n denotes the sum of first n terms of an A.P. and $\frac{{\mathrm{S}}_{3\mathrm{n}}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}}{{\mathrm{S}}_{2\mathrm{n}}-{\mathrm{S}}_{2\mathrm{n}-1}}=31$, then the value of n is

$\begin{array}{l}{\mathrm{S}}_{3\mathrm{n}}=\frac{3\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(3\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\\ \begin{array}{rl}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}=& \frac{\mathrm{n}-1}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-2\left)\mathrm{d}\right]\\ \Rightarrow {\mathrm{S}}_{3\mathrm{n}}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}& =\frac{1}{2}\left[2\mathrm{a}\right(3\mathrm{n}-\mathrm{n}+1\left)\right]+\frac{\mathrm{d}}{2}\left[3\mathrm{n}\right(3\mathrm{n}-1)-(\mathrm{n}-1\left)\right(\mathrm{n}-2\left)\right]\end{array}\\ =\frac{1}{2}\left[2\mathrm{a}(2\mathrm{n}+1)+\mathrm{d}\left(8{\mathrm{n}}^2-2\right)\right]\\ =\mathrm{a}(2\mathrm{n}+1)+\mathrm{d}\left(4{\mathrm{n}}^2-1\right)\\ =(2\mathrm{n}+1)[\mathrm{a}+(2\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\\ {\mathrm{S}}_{2\mathrm{n}}-{\mathrm{S}}_{2\mathrm{n}-1}={\mathrm{T}}_{2\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(2\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\\ \begin{array}{rl}\Rightarrow \frac{{\mathrm{S}}_{3\mathrm{n}}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}}{{\mathrm{S}}_{2\mathrm{n}}-{\mathrm{S}}_{2\mathrm{n}-1}}& =(2\mathrm{n}+1)\end{array}\end{array}$

Given 

        $$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{S}}_{3\mathrm{n}}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}}{{\mathrm{S}}_{2\mathrm{n}}-{\mathrm{S}}_{2\mathrm{n}-1}}=31 \\ \Rightarrow 2n+1=31 \\ \Rightarrow 2n=30 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=15 \end{gathered}$$