If $\tan \theta =\frac{b}{a}$  then a $\cos 2\theta +b\sin 2\theta =$

$a\left[\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right]+b\left[\frac{2ba}{a^2+b^2}\right]$

$=\left(\frac{a\left(a^2-b^2\right)+b\left(2ab\right)}{a^2+b^2}\right)$

$=\frac{a^3-a{b}^2+2a{b}^2}{a^2+b^2}$

$=\frac{a^3+a{b}^2}{a^2+b^2}$

$=\frac{a\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}$

$=a$