If the argument of $(\mathrm{z}-\mathrm{a})(\overline{\mathrm{z}}-\mathrm{b})$ is equal to that of $\frac{(\sqrt{3}+\mathrm{i})(1+\sqrt{3}\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}$, where a,b are real numbers. If locus of z is a circle with centre $\frac{3+\mathrm{i}}{2}$ then find (a+b).

$$\begin{gathered} (\mathrm{z}-\mathrm{a})(\overline{\mathrm{z}}-\mathrm{b})=\mathrm{z}\overline{\mathrm{z}}-\mathrm{a}\overline{\mathrm{z}}-\mathrm{bz}+\mathrm{ab} \\ \Rightarrow (\mathrm{z}-\mathrm{a})(\overline{\mathrm{z}}-\mathrm{b})=x^2+y^2-a(x-iy)-b(x+iy)+ab \\ \Rightarrow (\mathrm{z}-\mathrm{a})(\overline{\mathrm{z}}-\mathrm{b})=x^2+y^2-x(a+b)+ab+i(a-b)y \end{gathered}$$;

 $\therefore$argument of
$(\mathrm{z}-\mathrm{a})(\overline{\mathrm{z}}-\mathrm{b})=\left(\frac{\mathrm{y}(\mathrm{a}-\mathrm{b})}{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-\mathrm{ax}-\mathrm{bx}+\mathrm{ab}}\right)$ 
also, $\frac{(\sqrt{3}+\mathrm{i})(1+\sqrt{3}\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}+\mathrm{i}(1+3)}{1+\mathrm{i}}=\frac{4i}{1+\mathrm{i}}=2+2\mathrm{i}$
argument of 2 + 2i = tan^-1(2/2) = π / 4
${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-(\mathrm{a}+\mathrm{b})\mathrm{x}-(\mathrm{a}-\mathrm{b})\mathrm{y}+\mathrm{ab}=0$
Thus the locus of z is a circle with given centre  $\frac{3+\mathrm{i}}{2}$ 
$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}=\frac{3}{2};\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{2}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \mathrm{a}=2,\mathrm{b}=1\end{array}$